% Here is the revised version. I have introduced a few \break 
% (updated) list of references is on p. 88, the authors' addresses p. 89.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% J.-L. Colliot-Th\'el\`ene, D. Harari et A. N. Skorobogatov
%% Valeurs d'un polyn\^ome \`a une variable repr\'esent\'ees par une norme
%% For SwDyer 75th birthday book, CUP
%% latex2e
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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  \markboth{\qquad Valeurs d'un polyn\^ome \`a une variable
repr\'esent\'ees par une norme \hfill}{\hfill J.-L. Colliot-Th\'el\`ene,
D. Harari et A. N. Skorobogatov \qquad}

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%%%%%Macros

%% Typographie: \hat T remplaces par \widehat T, caracteres romains pour
%% Pic etc.
%% Peut-etre: mettre des \noindent pour eviter les decalages partout?


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      to#3{\rightarrowfill}}\limits
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\title{Valeurs d'un polyn\^ome \`a une variable \\ repr\'esent\'ees par
une norme}

\author{J.-L. Colliot-Th\'el\`ene, D. Harari et A. N. Skorobogatov}
\date{\em \`a Peter Swinnerton-Dyer en signe d'admiration}
\begin{document}

\maketitle

\addcontentsline{toc}{chapter}{J.-L. Colliot-Th\'el\`ene, D. Harari et A.
N. Skorobogatov, Valeurs d'un polyn\^ome \`a une variable
repr\'esent\'ees par une norme}
% \tableofcontents

\renewcommand{\abstractname}{Abstract}

\begin{abstract}

The aim of the paper is twofold. On the one hand, we study the Brauer
group of a smooth and proper model of the $k$-variety given by $P(t)={\rm
Norm}_{K/k}(z)$, where $P(t)$ is a polynomial, and $\Norm_{K/k}(z)$ is the
norm form defined by a finite field extension $K/k$, with $k$ an
essentially arbitrary field. Under some additional hypotheses we compute
this group explicitly. On the other hand, when $k$ is the field of
rational numbers, and $P(t)$ is a product of arbitrary powers of two
linear factors, we prove that the Brauer--Manin obstruction to the Hasse
principle and weak approximation is the only one.

\end{abstract}

\section{Introduction}
Cet article est consacr\'e \`a l'\'etude des points rationnels de
vari\'et\'es d\'efinies, sur un corps de nombres $k$, par une \'equation
\begin{equation}
P(t)=N_{K/k}(\z),      \label{eq}
\end{equation}
o\`u $P(t)\in k[t]$ est un polyn\^ome \`a une variable,
$K/k$ une extension finie de corps
et  $N_{K/k}(\z)$,
pour $\z$ variable dans $K$,
est la forme normique associ\'ee \`a cette extension.
Pour l'histoire de ce probl\`eme, on pourra consulter
[CTPest].

Lorsque $k$ est le corps $\Q$ des nombres rationnels, Heath-Brown et
l'un des auteurs [HBSk] ont  d\'emontr\'e que pour le
polyn\^ome
$P(t)=\alpha t^a(t-1)^b$, o\`u $(a,b)=1$ et
$\alpha\in k^*$,
l'obstruction de Brauer--Manin est la seule obstruction
au principe de Hasse
et \`a l'approximation faible pour tout mod\`ele
propre et lisse $X^c$ de (\ref{eq}). Une variante de leur d\'emonstration
est donn\'ee dans [CTPest].

Le but de cet article est double. D'une part on \'etudie, sur un corps
$k$ essentiellement arbitraire, et pour un polyn\^ome $P(t)$ quelconque,
le groupe de Brauer $\Br(X^c)$. D'autre part, sur $k=\Q$, on
g\'en\'eralise le r\'esultat de [HBSk] au cas  $P(t)=\alpha t^a(t-1)^b
\in \Q[t]$ avec $a$ et $b$ quelconques.

En ce qui concerne le groupe de Brauer,  la difficult\'e r\'eside dans
le fait qu'il semble difficile, pour une extension $K/k$ arbitraire,
d'\'ecrire un mod\`ele projectif et lisse
$X^c$ de la $k$-vari\'et\'e d\'efinie par (\ref{eq}); nous calculons le
groupe de Brauer $\Br(X)$ d'un mod\`ele lisse $X$ non propre, mais assez
gros, de (\ref{eq}). Ce calcul est fait au paragraphe~2, sur un corps
$k$ de caract\'eristique z\'ero, et {\it pour $K/k$ et $P(t)$
quelconques}. Les principaux r\'esultats sont la proposition 2.3 et la
proposition~2.5. Sous des hypoth\`eses suppl\'ementaires
convenables, on en tire des cons\'equences sur le groupe de Brauer de
$X^c$ (corollaires 2.6 et 2.7, propositions 2.11 et 2.12).

Au paragraphe 3, dans le cas $P(t)=\alpha t^a(t-1)^b$, nous appliquons la
m\'ethode de la ``descente ouverte" ([CTSk]) \`a la vari\'et\'e $X$
introduite au paragraphe 2. Dans [HBSk] et [CTPest] cette m\'ethode avait
\'et\'e appliqu\'ee \`a l'ouvert de lissit\'e de la vari\'et\'e d\'efinie
par (\ref{eq}), ouvert qui est strictement contenu dans la vari\'et\'e
$X$ ici consid\'er\'ee. C'est ce changement de mod\`ele qui explique les
progr\`es faits dans le pr\'esent article (th\'eor\`eme 3.1 et corollaire
3.2).

\section{Calcul de  groupes de Brauer}
Soient $k$ un corps de caract\'eristique z\'ero et $\kbar$ une cl\^oture
alg\'ebrique de $k$. On note  $\Ga_k:=\Gal(\kbar/k)$.
On note $H^{i}(\Ga_k,M)$ ou plus simplement $H^{i}(k,M)$ les
groupes de cohomologie
du groupe profini
$\Ga_k$ \`a valeurs dans un $\Ga_k$-module continu discret $M$.

On supposera le lecteur familier avec la th\'eorie des $k$-tores
alg\'ebriques ([CTSa1], \S 2; [Vosk]).

Soit $X$ une $k$-vari\'et\'e, c'est-\`a-dire un $k$-sch\'ema
s\'epar\'e de type fini. On note $\Xbar=X\times_k\kbar$, puis
$k[X]^*=H^0(X,\Oh_X^*)$ le groupe des unit\'es de $X$ et
$\kbar[X]^*=H^0(\Xbar,\Oh_{\Xbar}^*)$ celui de
$\Xbar$. On note $\Pic(X) =H^1_{\rm Zar}(X,\Oh_X^*)$
le groupe de Picard de $X$. Le th\'eor\`eme 90 de Hilbert
revu par Grothendieck
identifie ce groupe \`a $H^1\et(X,\G_m)$.

Dans cet article,
la notation $\Br(X)$ est utilis\'ee pour le groupe de Brauer cohomologique
$H^2\et(X,\G_m)$ d'une $k$-vari\'et\'e $X$. Rappelons aussi les
notations usuelles $$\Br_0(X)=\Im[\Br(k)\to\Br(X)], \quad
\Br_1(X)=\Ker[\Br(X)\to \Br(\Xbar)].$$

La suite spectrale de Leray $E_2^{pq}= H^p(k,H^q\et(\Xbar,\G_m))
\Longrightarrow H^n\et(X,\G_m)$ donne naissance \`a la suite exacte
   (cf.\ [CTSa3], (1.5.0))
$$ H^2(k,\kbar[X]^*) \to \Br_1(X) \to
H^1(k,\Pic(\Xbar)) \to
H^3(k,\kbar[X]^*).$$
Si l'on a $\kbar^*=\kbar[X]^*$ (c'est par exemple le cas pour $X$
propre, r\'eduite, et g\'eom\'etriquement connexe), alors cette suite
s'\'ecrit
$$ \Br(k) \to \Br_1(X) \to
H^1(k,\Pic(\Xbar)) \to
H^3(k,\kbar^*),$$
soit encore
$$ 0 \to \Br_0(X) \to \Br_1(X) \to
H^1(k,\Pic(\Xbar)) \to
H^3(k,\kbar^*).$$

Notons que $H^3(k,\kbar^*)=0$ si $k$ est un corps de nombres
([CF], 7.11.4). Par ailleurs la fl\`eche $H^1(k,\Pic(\Xbar)) \to
H^3(k,\kbar^*)$ est nulle si $X(k) \ne\emptyset$;
en effet tout $k$-point de $X$ d\'efinit une
r\'etraction de la fl\`eche
$$H^3(k,\kbar^*)=E_2^{30}
\to E_{\infty}^{30} \subset H^3\et(X,\G_m),$$
et donc toutes les diff\'erentielles de la suite spectrale
aboutissant aux termes $E_n^{30}$ sont nulles.

Soit $P(t)$ un polyn\^ome. Ecrivons-le
$P(t)=\alpha\prod_{i=1}^m p_i(t)^{a_i}$
avec $\alpha\in k^*$ et avec
les polyn\^omes $p_i(t)$ irr\'eductibles, unitaires et distincts
deux \`a deux.
On note $d_i$ le degr\'e de $p_i(t)$ et $s=\sum_i a_id_i$ le degr\'e de
$P$.
On suppose $ \prod _{i=1}^m p_i(t)$ de degr\'e au moins \'egal \`a $2$.
Soit $k\subset K\subset\kbar$ une extension de degr\'e $n$,
et $N_{K/k}\colon K^*\to k^*$ l'application d\'efinie par la norme. Soit
$\omega_1,\dots,\omega_n$ une $k$-base de $K$. On note
$N_{K/k}(\z)$ la forme normique associ\'ee, o\`u
$\z=z_1\omega_1+\cdots+z_n\omega_n$ est une $K$-variable.

Soit $V\subset\A^{n+1}_k\simeq \A^1_k\times_kR_{K/k}(\A^1_K)$
   l'ouvert de lissit\'e
de l'hypersurface affine d\'efinie  par l'\'equation (\ref{eq}).



La projection $(t,\z)\mapsto t$ d\'efinit
un morphisme surjectif $p\colon V\to\A^1_k$.
Soit $U_0\subset \A^1_k$ l'ouvert donn\'e par $P(t)\not=0$, et soit
$U=p^{-1}(U_0)\subset V$. La\break $k$-vari\'et\'e $U$
est la vari\'et\'e affine d\'efinie par le syst\`eme
$P(t)=N_{K/k}(\z) \ne0$.
     La restriction de $p$ \`a $U$
est un $U_0$-torseur sous le tore normique $T=R^1_{K/k}(\G_m)$,
lequel est d\'eploy\'e par le passage de $k$ \`a $\kbar$.
Comme le groupe de Picard de $\Ubar_0$ est nul,
il existe  un
isomorphisme de $\kbar$-vari\'et\'es $\Ubar \simeq \Ubar_0
\times_{\kbar}\Tbar \simeq \Ubar_0 \times \G_m^{n-1}$. Il en r\'esulte
que $\Pic(\Ubar)=0$ et que le quotient $\kbar[U]^*/\kbar ^*$ est
engendr\'e  par les facteurs lin\'eaires de $P(t)$ sur $\kbar$
et les caract\`eres du tore $\Tbar$.

Soit $T^c$ une compactification lisse \'equivariante de $T$ (voir
[CTHaSk]). Le produit  contract\'e
$U\times^T T^c$ est une compactification partielle de $U$,
propre et lisse sur $U_0$.
  Soit\footnote{Dans la construction qui suit,
au lieu de recourir \`a  une compactification lisse \'equivariante de
$T$, on pourrait se contenter de l'existence d'une $k$-vari\'et\'e lisse
et propre sur
$U_0$ jouant le r\^ole de $U\times^T T^c$, ce qui est fourni par le
th\'eor\`eme de Hironaka. Il faut alors modifier le  diagramme
de la proposition 2.2.}
   $X$ la $k$-vari\'et\'e lisse obtenue par recollement de $V$ avec
$U\times^T T^c$ le long de $U$.
Soit
$\pi\colon X\to\A^1_k$ le morphisme naturel, et
$\ov{\pi}=\pi \times_k{\kbar}$. Comme toute fibre de $\pi$
est contenue soit dans $V$ soit dans $U\times^T T^c$,
et que chacune des $k$-vari\'et\'es $V$ et $U\times^T T^c$
est s\'epar\'ee,
le $k$-sch\'ema de type fini $X$ est s\'epar\'e.
C'est donc une $k$-vari\'et\'e.

La fibre g\'en\'erique $X_{\eta}$ de $\pi $
   est
projective et g\'eom\'etriquement int\`egre
sur $k(t)$. Une fonction inversible
sur  $\Xbar$ provient donc de $\kbar(t)^*$. Si
un \'el\'ement de $\kbar(t)^*$ n'est pas constant,
alors il poss\`ede un diviseur non trivial sur
$\Vbar$. Ainsi $\kbar[X]^*=\kbar^*$
(on a en fait l'\'enonc\'e plus pr\'ecis $\kbar[V]^*=\kbar^*$).

Soit $X^c$
une $k$-compactification lisse de $X$ telle que $\pi$ s'\'etende \`a un
morphisme (encore not\'e $\pi$)
$X^c\to\P^1_k$. L'existence de $X^c$ d\'ecoule du th\'eor\`eme
de Hironaka.
Le module galoisien $\Div_{\Xbar\setminus\Ubar}(\Xbar)$
des diviseurs de $\Xbar$ \`a support hors de $\Ubar$ est la somme directe
du module des diviseurs ``verticaux''
$\Div_v:=\Div_{\Vbar\setminus\Ubar}(\Vbar)$,
librement engendr\'e par les composantes irr\'eductibles des fibres
d\'eg\'en\'er\'ees, et du module $\Div_h$
des diviseurs de $\Ubar\times^{\Tbar}
\ov{T^c}$
\`a support hors de $\Ubar$, c'est-\`a-dire des diviseurs ``horizontaux".


Le lemme suivant est sans doute bien connu (cf. [Sa], \S 6.b), mais nous
ne l'avons pas trouv\'e explicitement dans
la litt\'erature.
\begin{lemma} \label{torelemme}

Soit $E$ un espace principal homog\`ene sous un $k$-tore $T$.
Soient $T^c$ une compactification \'equivariante de $T$ et
$E^c$ le produit contract\'e $E \times^TT^c$. Soit
$K/k$ une extension galoisienne de corps, de groupe
de Galois $G$, d\'eployant le $k$-tore $T$. Alors
il existe  un isomorphisme naturel de suites exactes de\break $G$-modules
$$
\begin{CD}
0 @>>> \That @>>> \Div_{T^c_K \setminus T_K}(T^c_K)
@>>> \Pic (T^c_K) @>>> 0 \cr
&& @VV{{\displaystyle \wr}}V  @VV{{\displaystyle \wr}}V
@VV{{\displaystyle \wr}}V \cr
0 @>>> K[E]^{\ast}/K^{\ast}  @>>> \Div_{E^c_K \setminus E_K}(E^c_K)
@>>> \Pic (E^c_K) @>>> 0.
\end{CD}
$$

\end{lemma}

\paragraph{D\'emonstration} On a la suite exacte de $G$-modules
  \begin{equation}
  0 \to K[E]^{\ast}/K^{\ast} \to \Div_{E^c_K\setminus
E_K} (E^c_K) \to {\rm Pic}(E^c_K) \to 0. \tag{$\mathcal E$}
  \end{equation}
On peut \'ecrire la suite exacte analogue pour $E_{k(E)}:=
E \times_k k(E)$, o\`u $k(E)$ est le corps des fonctions de $E$,
et  l'extension galoisienne $ K(E)/k(E)$ (de groupe $G$)
au lieu de $K/k$:
$$ 0 \to K(E)[E_{k(E)}]^{\ast}/K(E)^{\ast} \to
\Div_{E^c _{K(E)} \setminus E_{K(E)} } (E^c _{K(E)})
\to \Pic (E^c _{K(E)}) \to 0$$
o\`u $E_{K(E)}:=E \times_k K(E)$, $E^c_{K(E)}:=E^c \times_k
K(E)$.
La projection $E_{k(E)} \to E$ induit un
isomorphisme galoisien de la premi\`ere de ces suites
dans la seconde, car $k$ est alg\'ebriquement clos dans $k(E)$.

Pour $E=T$, il est bien connu que $K[T]^{\ast}/K^{\ast}=\That$.
Pour les m\^emes raisons que ci-dessus,
la projection $T_{k(E)} \to T$ induit un isomorphisme
galoisien de la premi\`ere suite horizontale dans l'\'enonc\'e du lemme
avec la suite
$$ 0 \to K(E)[T_{k(E)}]^{\ast}/K(E)^{\ast} \to
\Div_{T^c _{K(E)} \setminus T_{K(E)} } (T^c_{K(E)})
\to \Pic (T^c_{K(E)}) \to 0.$$
Il suffit alors d'observer que le point g\'en\'erique de $E$
d\'efinit
   un isomorphisme de
$T_{k(E)}$-espaces principaux homog\`enes
$ T_{k(E)} \simeq E_{k(E)}$,
qui induit un\break $ T_{k(E)}$-isomorphisme \'equivariant
$ T^c_{k(E)} \simeq E^c_{k(E)}$, lequel induit
un isomorphisme  entre la suite pour $T_{k(E)}$
et celle pour $E_{k(E)}$.
\enddem



Notons  $\Z[K/k]$ le $\Ga_k$-module induit $\Z[\Ga_k/\Ga_K]$.
Au polyn\^ome $P(t)$ nous attachons le
$\Ga_k$-module de permutation
$\Z_P$, qui est la somme directe des  $\Z[L_i/k]$, o\`u
     $L_i=k[t]/p_i(t)$.
Il est \'evident  que le module
$\kbar[U_0]^*/\kbar ^*$, librement engendr\'e en tant que groupe
ab\'elien par les classes des facteurs lin\'eaires de $P(t)$ sur $\kbar$,
est isomorphe \`a $\Z_P$. D'autre part le module galoisien
$\Div_v$ est librement engendr\'e par les composantes irr\'eductibles
du diviseur
d\'efini par
  $P(t)=N_{K/k}({\bf z})=0$ sur $\Vbar$,
il est donc isomorphe \`a  $\Z[K/k] \otimes \Z_P $.
Quant au module galoisien $\Div_h$, on voit
en utilisant le lemme 2.1 qu'il est isomorphe au module 
$\Div_{\ov{T^c}\setminus\Tbar}(\ov{T^c})$ (voir la fin de la 
d\'emonstration
de la proposition suivante).

\bigskip



L'\'enonc\'e suivant  permet de contr\^oler le
$\Ga_k$-module  $\Pic(\Xbar)$:

\begin{prop} \label{diagprop}

Il existe un diagramme commutatif de $\Ga_k$-modules,
dont les lignes et les colonnes sont exactes

\begin{equation}
\begin{array}{ccccccccccc}
&&0&&0&&0&&\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\
0&\to& \Z_P& \to& \Z[K/k] \otimes \Z_P &\to& \That\otimes\Z_P &\to& 0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\
0&\to& \kbar[U]^*/\kbar^* & \to& (\Z[K/k] \otimes \Z_P) \oplus
\Div_h&\to&
\Pic(\Xbar)&\to& 0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\
0&\to& \That& \to& \Div_h&\to& \Pic(\ov{T^c})&\to& 0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\
&&0&&0&&0&&
\end{array}\label{di}
\end{equation}

\end{prop}

\paragraph{D\'emonstration}
Expliquons d'abord comment ce diagramme est construit.  La suite exacte
horizontale sup\'erieure est obtenue par tensorisation  par $\Z_P$ de la
suite exacte naturelle
$$ 0 \to \Z \to \Z[K/k] \to \That  \to 0,$$
o\`u la fl\`eche $\Z \to \Z[K/k]$ envoie $1$ sur la norme $N_{K/k}$
(somme des \'el\'ements de $\Ga_k/\Ga_K$, i.e. des  plongements de
$K$ dans $\kbar$ ). Dans la suite exacte horizontale m\'ediane, la
fl\`eche
$\kbar[U]^*/\kbar^*  \to (\Z[K/k] \otimes \Z_P) \oplus
\Div_h $ associe \`a une fonction
son diviseur sur $\Xbar$.

La fl\`eche $\Z[K/k] \otimes \Z_P \to (\Z[K/k] \otimes \Z_P) \oplus
\Div_h$ est simplement la fl\`eche d'inclusion via le premier facteur.
La fl\`eche $\Z_P \to
\kbar[U]^*/\kbar^* $ est la fl\`eche naturelle
$\kbar[U_0]^*/\kbar^* \to \kbar[U]^*/\kbar^* $.
Le carr\'e en haut \`a gauche commute, comme on voit en calculant le
diviseur, sur $\Xbar$,  des facteurs lin\'eaires de $P(t)$ sur $\kbar$.
Ceci d\'efinit la fl\`eche $\That\otimes\Z_P \to \Pic(\Xbar)$.


Les fl\`eches de la  suite horizontale m\'ediane dans
la suite horizontale inf\'eri\-eure sont  d\'efinies
par la restriction de $X$ \`a la fibre g\'en\'erique
$X_{\eta}$ de $\pi $.
Cette restriction tombe a priori dans la suite
de $\Ga_k$-modules (${\mathcal E}$)
relative \`a
l'extension $\kbar(t)/k(t)$,  \`a l'espace
principal homog\`ene
$U_{\eta}$ du $k(t)$-tore $T_{k(t)}$, et \`a\break
$X_{\eta}=U_{\eta}\times^{T_{\eta}}T^c_{\eta}$. D'apr\`es le
lemme~\ref{torelemme}, cette suite est isomorphe
\`a la suite de $\Ga_k$-modules (${\mathcal E}$)
relative \`a l'extension $\kbar(t)/k(t)$, au
   $k(t)$-tore $T_{k(t)}$ et \`a $T^c_{k(t)}$.
Mais les arguments du lemme~\ref{torelemme}
montrent aussi que cette suite de
$\Ga_k$-modules est isomorphe (par image r\'eciproque
de $k$ \`a $k(t)$) \`a la suite de $\Ga_k$-modules (${\mathcal E}$)
relative \`a l'extension $\kbar/k$, au $k$-tore $T$
et \`a $T^c$.
\enddem


\bpr \label{1}
Le groupe $\Pic(\Xbar)$ est sans torsion, et $\Br(\Xbar)$ est nul.
\epr

\paragraph{D\'emonstration}
Comme $\Pic({\Tbar}^c)$ est libre
de type fini ([CTSa3], Cor.~2.A.2, p.~461),
la colonne de droite du diagramme montre
      que $\Pic(\Xbar)$
est sans torsion. Pour le deuxi\`eme \'enonc\'e,
notons que puisque $X$ est une $k$-vari\'et\'e lisse,
     $\Br(\Xbar)$ s'injecte
dans le groupe de Brauer de la fibre g\'en\'erique
$X_{\kbar(t)}$
de $\bar \pi\colon
\Xbar\to\A^1_{\kbar}$. Mais $X_{\kbar(t)}$ est une vari\'et\'e propre,
lisse et rationnelle sur $\kbar(t)$. Comme le groupe de Brauer
est, en caract\'eristique z\'ero, un invariant birationnel
des vari\'et\'es projectives et lisses ([Gr],  Cor. 7.5)
et que le groupe de Brauer de l'espace projectif sur un
corps co\"{\i}ncide avec le groupe de Brauer du corps de
base (\'enonc\'e facile \`a obtenir en caract\'eristique z\'ero, par
r\'eduction au cas de la droite affine), on a
$\Br(X_{\kbar(t)})=\Br(\kbar(t))$. Ce dernier groupe est trivial,
comme il r\'esulte du th\'eor\`eme de Tsen.
\enddem

Dans le  diagramme (\ref{di}),
on dispose d'une section \'evidente
de la projection $$(\Z[K/k] \otimes \Z_P) \oplus
\Div_h \to \Div_h.$$ Ceci d\'efinit (via la commutativit\'e du carr\'e de
droite du diagramme (2), qui donne la fl\`eche
$\Div_h \ra \Pic(\Xbar)$) un morphisme de
suites exactes
\begin{equation}
\begin{array}{ccccccccccc}
0&\to& \That& \to& \Div_h&\to& \Pic(\ov{T^c})&\to& 0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&||&&\\
0 &\to& \That\otimes \Z_P &\to& \Pic(\Xbar) &\to&\Pic(\ov{T^c})&\to& 0
\end{array}\label{di2}
\end{equation}


Soit $N_{i}=N_{L_i/k} \in \Z[L_i/k]$ la somme
$\sum_\sigma \sigma$ pour $\sigma$ parcourant les plongements
de $L_i$ dans $\kbar$.
Soit $\chi \in \That$, image de $\tilde \chi \in \Z[K/k]$ par la
surjection canonique. Si on ajoute \`a $\chi \in \Div_h$
l'\'el\'ement de $\Div_v=\Z[K/k] \otimes \Z_P$ d\'efini
par $\tilde \chi \otimes (\sum a_i N_i)$, on obtient le diviseur de
la fonction $\chi$ (inversible sur $\Ubar$).
Il en r\'esulte que
la fl\`eche $ \That \to \That\otimes \Z_P$ dans le diagramme (3)
est induite, par tensorisation par $\That$,  par
la  fl\`eche  $j_P\colon \Z \to \Z_P$ envoyant $1$ sur
$-\sum_{i=1}^m a_iN_{i}$.
Observons ici que
la fl\`eche $j_P$ admet une r\'etraction Galois-\'equivariante
si et seulement si les entiers $a_id_i$
sont premiers entre eux dans leur ensemble.


Pour un $\Ga_k$-module $M$ on d\'efinit le groupe
$$\Sha^i_\omega(M):=\bigcap_{g\in\Ga_k}\Ker[H^i(\Ga_k,M)\to
H^i(\langle g\rangle, M)],$$
o\`u $\langle g\rangle\subset\Ga_k$ est le
sous-groupe procyclique
engendr\'e par $g$. Si $M$ est un\break $\Ga_k$-module de
permutation, ou bien si $M$ est d\'eploy\'e par une extension $K/k$
de groupe de Galois m\'etacyclique (i.e. dont tous les
sous-groupes de Sylow sont cycliques),
alors $\Sh(M)=0$.

On sait ([Vosk], Chap. 2, \S 4.6; [CTSa1], preuve de la Prop. 6)
que le mo\-dule galoisien
$\Pic(\ov{T^c})$ est ${\hat H}^{-1}$-trivial. En particulier,
pour tout sous-groupe procyclique $\langle g\rangle\subset\Ga_k$,
on a l'\'egalit\'e
$H^1(\langle g\rangle,\Pic(\ov{T^c}))=0$ via la 2-p\'eriodicit\'e
de la cohomologie d'un groupe (fini) cyclique ([CF], Chap. IV, \S 8,
theorem 5).
De la suite exacte inf\'erieure du diagramme (\ref{di})
on d\'eduit alors classiquement ([CTSa2], Prop. 9.5)
l'isomorphisme
$H^1(k, \Pic(\ov{T^c})) \simeq \Sh(\That)$.


\bde
Pour un $\Ga_k$-module $M$ on d\'efinit
$$\Sh(M)_P=\Ker[j_{P*}\colon\Sh(M)\to\Sh(M\otimes\Z_P)].$$
\ede

\bpr
Soit $X/k$ comme ci-dessus.

\begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
  \item Il y a une suite exacte naturelle
$$0 \to H^1(k,\That\otimes\Z_P)/{j_P}_*H^1(k,\That) \to
H^1(k,\Pic(\Xbar)) \to \Sh(\That)_P \to 0.$$

  \item Les \'el\'ements de $\Br(X)$ dont l'image dans $H^1(k,\Pic(\Xbar))$
provient de $ H^1(k,\That\otimes\Z_P)$ sont pr\'ecis\'ement
les \'el\'ements du groupe de Brauer vertical de $X$ par rapport
\`a la projection $X \to \A^1_k$, c'est-\`a-dire les \'el\'ements
de $\Br(X)$ dont la restriction \`a la fibre g\'en\'erique
$X_{\eta}$ provient de $\Br(k(t))$.
  \end{enumerate}
\epr

\paragraph{D\'emonstration}
De la suite inf\'erieure du diagramme (\ref{di2}) on tire la suite exacte
  \begin{multline*}
\Pic(\ov{T^c})^{\Ga_k} \to
H^1(k,\That\otimes\Z_P)\to H^1(k,\Pic(\Xbar))
\to H^1(k,\Pic(\ov{T^c})) \\ \to H^2(k,\That\otimes\Z_P).
  \end{multline*}
D'autre part, de la suite sup\'erieure on d\'eduit, comme on a
vu, un iso\-morphisme  $H^1(k, \Pic(\ov{T^c})) \simeq \Sh(\That)$,
et du calcul de la fl\`eche $j_P\colon\That\to\That\otimes\Z_P$
dans ce diagramme, et de la nullit\'e de $H^1(k,\Div_h)$, on tire la
suite exacte annonc\'ee en a).

On a vu plus haut $\kbar^* = \kbar[X]^*$ et $\Br(\Xbar)=0$, donc
$\Br_1(X) = \Br(X)$. On a donc la suite exacte
$$ \Br(k) \to \Br(X) \to H^1(k,\Pic(\Xbar)) \to H^3(k,\kbar^*).$$


Pour la fibre g\'en\'erique
$X_{\eta}=X_{k(t)}$,  on a $\Br(X_{\kbar(t)})=\Br(\kbar(t)) =
0$, et
  la suite spectrale de Hochschild-Serre pour
la projection  $X_{\kbar(t)} \to X_{k(t)}$ et le faisceau
\'etale $\G_m$
donne naissance  \`a la suite exacte
$$ \Br(k(t)) \to
     \Br(X_{k(t)}) \to H^1(k, \Pic(X_{\kbar(t)} ))
  \to H^3(k,\kbar(t)^*)$$ et la premi\`ere suite s'envoie de fa\c con
naturelle dans la seconde.


La fl\`eche $ H^1(k,\Pic(\Xbar)) \to H^1(k, \Pic(X_{\kbar(t)} ))$
s'identifie \`a la fl\`eche
  \[
  H^1(k,\Pic(\Xbar)) \to H^1(k,\Pic(\Tbar^c)),
  \]
dont le noyau est pr\'ecis\'ement l'image de $H^1(k,\That\otimes\Z_P)$.
Ceci \'etablit le point b).
\enddem


  \begin{rem}\rm
On peut en fait d\'ecrire pr\'ecis\'ement les \'el\'ements de $\Br(X)$
dont la classe dans $H^1(k,\Pic(\Xbar))$  provient de
$H^1(k,\That\otimes\Z_P)$. Ce dernier groupe est naturellement
isomorphe au groupe
  \[
  \bigoplus_{i=1}^m \Ker [H^1(L_i,\Q/\Z) \to H^1(L_i\otimes_kK,\Q/\Z)].
  \]
     Soit $\theta_i$ la classe de $t$ dans
$L_i=k[t]/p_i(t)$. Soit $$\{\chi_i\}_{i=1,\dots,m} \in
\bigoplus_{i=1}^m \Ker [H^1(L_i,\Q/\Z) \to H^1(L_i\otimes_kK,\Q/\Z)].$$
On peut alors consid\'erer
$$\sA = \sum_{i=1}^m {\rm Cores}_{L_i(t)/k(t)}(t-\theta_i,\chi_i)
\in \Br(k(t)),$$ et v\'erifier directement que la restriction de $A$ au
corps des fonctions de $X$ est non ramifi\'ee sur $X$.
  \end{rem}

\bco
Dans chacun des cas suivants, le groupe de Brauer
$\Br(X)$ est vertical par rapport \`a $X \to \A^1_k$, et
il en est de m\^eme, a fortiori, du groupe de Brauer
$\Br(X^c)$ par rapport \`a $X^c \to \P^1_k$:
  \begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
  \item le groupe de Brauer de $T^c$ est r\'eduit au groupe
de Brauer de $k$;

  \item le tore $T=R^1_{K/k}\G_m$ est un facteur direct d'un $k$-tore
$k$-rationnel;

  \item le groupe de Galois de la cl\^oture galoisienne de $K/k$ a tous ses
sous-groupes de Sylow cycliques (ce qui est clairement le cas si
l'extension $K/k$ est cyclique);

  \item l'extension $K/k$ est de degr\'e premier;

  \item le p.g.c.d. des $a_i.d_i$ est \'egal \`a 1 (ce qui est clairement
le cas si l'un des $p_i$ est de degr\'e $d_i=1$ et de multiplicit\'e
$a_i=1$).
  \end{enumerate}
\eco

\paragraph{D\'emonstration} On rappelle les faits suivants.
Si $K/k$ satisfait c) ou d), alors $T$ satisfait b) ([CTSa1], Prop. 2 et
Prop. 6, et [CTSa2], Prop. 9.1).
Si $T$ satisfait b), il satisfait a) ([CTSa1], Prop. 6).
Sous a), on a  $H^1(k,\Pic(\ov{T^c}))=0$ (voir le d\'ebut du
pagraphe 2, et observer que
$T^c(k)$ contient $T(k)$ et donc est non vide). Ainsi ([CTSa2], Prop. 9.5)
$\Sh({\That})=0$.
   L'hypoth\`ese e) implique que
la fl\`eche
$j_P\colon\Z\to\Z_P$ admet une r\'etraction Galois-\'equivariante.
On a alors $\Sh(M)_P=0$ pour tout module galoisien $M$, en particulier
pour $\That$.
\enddem

\begin{rem}\rm Supposons que $k$ est un corps de nombres, et
admettons l'hypoth\`ese de Schinzel (cf. [CTSD], \S 4). Lorsque $K/k$ est
cyclique, on sait alors (extension due \`a Serre d'un ancien
r\'esultat de Sansuc et de l'un des auteurs, voir
[CTSD], Th. 4.2) que
l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse et \`a l'approximation
faible est la seule obstruction pour $X^c$.
Mais pour $K/k$ plus g\'en\'eral, on ne sait le faire sous
aucune des hypoth\`eses a), b), c), d)
ci-dessus, bien que chacune de ces hypoth\`eses implique la validit\'e
du principe de Hasse et de l'approximation faible pour les fibres
lisses de $X^c \to \P^1_k$.

\end{rem}


\bco
Supposons que $P(t)$ est un produit de facteurs lin\'eaires sur $k$
dont les  multiplicit\'es
sont premi\`eres entre elles
dans leur ensemble, et que l'extension $K/k$ ne contient
pas de sous-extension cyclique non triviale. Alors le groupe de Brauer de
$X$ est r\'eduit
\`a l'image $\Br_0(X)$ de $\Br(k)$. A fortiori
le groupe de Brauer de
$X^c$ est-il r\'eduit
\`a l'image $\Br_0(X^c)$ de $\Br(k)$.
\eco

\paragraph{D\'emonstration} L'hypoth\`ese sur les
multiplicit\'es implique $\Sh(\That)_P=0$ (corollaire
pr\'ec\'edent, cas e)). Sous l'hypoth\`ese
faite sur $K/k$, le noyau de la restriction
$H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)$ est trivial,
soit encore $H^1(k,\That)=0$.
Comme $P$ est d\'eploy\'e, on a alors
  \[
  H^1(k,\That\otimes\Z_P)=0.
  \]
  On a donc
$H^1(k,\Pic(\Xbar))=0$, et donc
$\Br(X)=\Br_0(X)$.
\enddem


\begin{exa}\rm Supposons l'extension $K/k$ de degr\'e premier,
non cyclique, et le polyn\^ome $P(t)$ d\'eploy\'e.
Alors, sans hypoth\`ese sur les $a_i$, on a
l'\'egalit\'e
$\Br_0(X)=\Br(X)$ et donc $\Br_0(X^c)=\Br(X^c)$.
On a en effet dans ce cas $H^1(k,\That)=0$, donc $H^1(k,\That
\otimes \Z_P)=0$ et par ailleurs $T$ est un facteur direct d'un
$k$-tore \hbox{$k$-rationnel}
([CTSa2], Prop.~9.1), donc $H^1(k,\Pic(\ov{T^c}))=0$ ([CTSa1], Prop.~6).
Ainsi $H^1(k,\Pic(\Xbar))=0$.
\end{exa}

Il serait souhaitable de d\'ecrire le sous-groupe
$\Br(X^c) \subset \Br(X)$. Nous donnons  quelques r\'esultats
concernant la partie verticale, par rapport au
morphisme $\pi\colon X^c \to \P^1_k$, de $\Br(X^c)$.

Notons $F=k(U)=k(X^c)$ le corps des fonctions de $X^c$.
Etant donn\'e $A \in \Br(k(t))$, on note $A_F$ son image
dans $\Br(F)$ par l'inclusion $k(t) \subset F$ induite par $X^c \to
\P^1_k$.

\bpr \label{suf}
Supposons que le polyn\^ome $P(t)$, de degr\'e $s$,
est de la forme $t^aQ(t)$ avec $a>0$ et $Q(0) \ne0$.
Soit $\chi \in \Ker [H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)]$.

  \begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}

  \item La classe d'alg\`ebre cyclique
sur $k(t)$ d\'efinie par le cup-produit $(t^a,\chi)$
d\'efinit un \'el\'ement de $\Br(k(X^c))$
non ramifi\'e sur l'image r\'eciproque de
$\A^1_k$ dans $X^c$.

  \item Pour tout polyn\^ome
$R(t) \in k[t]$, la  classe de l'alg\`ebre $s(R(t),\chi)$
d\'efinit un \'el\'ement de $\Br(k(X^c))$
qui est non ramifi\'e  aux points de codimension $1$ de $X^c$ situ\'es
au-dessus du point \`a l'infini de $\P^1_k$.
  \end{enumerate}
\epr

\paragraph{D\'emonstration}
Rappelons tout d'abord la notation employ\'ee.
Soient $K$ un corps, $K_s$ une cl\^oture s\'eparable  de $K$,
$ \rho\in K^*$ et $
  \xi \in H^1(\Gal(K_s/K),\Q/\Z).
$
On note $(\rho,\xi) \in
\Br(K)$ le cup-produit de $\rho \in K^*=H^0(\Gal(K_s/K),K_s^*)$ avec le
bord
$\delta(\xi) \in  H^2(\Gal(K_s/K),\Z)$, le bord $\delta$ \'etant pris
pour la suite exacte \'evidente $0 \to \Z \to \Q \to \Q/\Z \to 0.$

Pour \'etablir la proposition, il suffit de v\'erifier que
la restriction de $(t^a,\chi)$ \`a $F=k(X_c)$
est non ramifi\'ee au-dessus du point  $O$ d\'efini par $t=0$ dans
$\A^1_k$.
L'\'egalit\'e $t^aQ(t)=N_{K/k}(\z) \in F$
implique  l'\'egalit\'e
$$(t^aQ(t),\chi)_F=(N_{K/k}(\z),\chi)
\in \Br(F).$$
On en d\'eduit
$(N_{K/k}(\z),\chi)=N_{K/k}(\z,\chi_K) \in \Br(F)$
par la formule de projection.
Par hypoth\`ese, la restriction $\chi_K$ de $\chi$ \`a $K$
est nulle. Ainsi
$$(t^aQ(t),\chi)_F=0 \in \Br(F)$$
et $(t^a,\chi)= a(t,\chi)_F= -(Q(t),\chi)_F$ est clairement non
ramifi\'e  aux points de $X^c$ au-dessus de $O$.
Soit $u=1/t$.
L'\'egalit\'e $P(t)=N_{K/k}(\z)$
dans  $F$ donne une \'egalit\'e
$H(u)=u^s N_{K/k}(\z)$, avec $H \in k[u]$ satisfaisant $H(0)\ne0$.
Proc\'edant comme ci-dessus, on voit que pour tout
$\chi \in \Ker [H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)] $, et tout
$R(t) \in  k[t]$,
la classe de l'alg\`ebre $s(R(t),\chi)$ est non ramifi\'ee
aux points de codimension $1$ de $X^c$ situ\'es au-dessus du
point \`a l'infini ($u=0$) de $\P^1_k$.
\enddem




\bpr \label{nec}
Supposons que le polyn\^ome $P(t)$, de degr\'e $s$,
est de la forme $t^aQ(t)$ avec $a>0$ et $Q(0) \ne0$.
     Soit $\chi \in H^1(k,\Q/\Z)$ quelconque.
Supposons que $(t,\chi)_F \in
\Br(F)$ est non ramifi\'e aux points de $X^c$ au-dessus de $t=0$.
Alors:
  \begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
  \item $\chi \in \Ker [H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)] $.

  \item Pour $r = n/(n,a)$, on a $r \chi=0$ dans  $H^1(k,\Q/\Z)$.
  \end{enumerate}
\epr


\paragraph{D\'emonstration}  Pour l'\'enonc\'e a), il suffit
de comparer le r\'esidu de $(t,\chi)$ en le point $t=0$
de $\A^1_k$ et le r\'esidu de $(t,\chi)_F$ au point g\'en\'erique
du diviseur de $X$ d\'efini par $t=0$; en effet la cl\^oture
alg\'ebrique de $k$ dans le corps des fonctions de la $k$-vari\'et\'e
d'\'equation $N_{K/k}(\z)=0$ est $K$
(pour les propri\'et\'es bien connues des r\'esidus, on renvoie
au \S 1 de [CTSD]).
     Consid\'erons l'\'enonc\'e b).
Soit $m=a/(n,a)$.
Effectuons le changement de base
$t=v^r$. On obtient l'\'equation $v^{nm}Q(v^r)=N_{K/k}(\z)$.
Le changement de variables $\z'=\z/v^m$ donne une \'equivalence
birationnelle entre la vari\'et\'e d'\'equation
     $v^{nm}Q(v^r)=N_{K/k}(\z)$ et celle d'\'equation
$Q(v^r)=N_{K/k}(\z')$, changement qui respecte la projection
sur la droite affine $\Spec(k[v])$. L'hypoth\`ese
implique que $(v^r,\chi)_{F'}$, o\`u $F'$ d\'esigne le corps
des fonctions de la nouvelle vari\'et\'e, est
non ramifi\'e au-dessus de $v=0$. Mais la fibre
de cette nouvelle fibration au-dessus du point $v=0$ est
g\'eom\'etriquement int\`egre. Ceci implique ([CTSD], Prop. 1.1.1)
que $(v^r,\chi) \in \Br(k(v))$ est non ramifi\'e en $v=0$,
et ceci \'equivaut \`a la condition $r\chi=0 \in H^1(k,\Q/\Z)$.
\enddem

\bigskip

Supposons  que $P(t)$ s'\'ecrit $P(t)= \alpha \prod_{i=1}^m (t-e_i)^{a_i}$,
avec $a_i >0$,  chaque $e_i$ dans $ k$  et $e_i \ne e_j$ pour $i \ne j$.
On a alors $s=\sum_{i=1}^m a_i$. La structure de $\Br(k(t))$,
le fait que les fibres de $X \to \A^1_k$ au-dessus des
points de $U_0$ soient g\'eom\'etriquement int\`egres,
et la  proposition \ref{nec}
ci-dessus impliquent ([CTSD], Prop. 1.1.1) que tout \'el\'ement vertical
de
$\Br(X) \subset \Br(F)$ est, \`a addition pr\`es d'un \'el\'ement
de $\Br(k)$, l'image
r\'eciproque d'un
\'el\'ement de la forme
$A=\sum_{i=1}^m(t-e_i,\chi_i)$, avec chaque
$\chi_i \in \Ker [H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)] $,
satisfaisant de plus $(n/(n,a_i)) \chi_i=0$.








\bigskip

Consid\'erons le cas o\`u tous les $a_i$ sont \'egaux \`a $1$,
i.e.  $P(t)= \alpha \prod_{i=1}^s (t-e_i)$
avec $e_i \ne e_j$ pour $i \ne j$. Alors $m=s$.
Dans ce cas, d'apr\`es le corollaire 2.6, tout le groupe de Brauer de
$X$, et donc de $X^c$, est vertical.
D'apr\`es la proposition \ref{suf},
     tout \'el\'ement de la forme $\sA=\sum_{i=1}^m(t-e_i,\chi_i) \in
\Br(k(t))$, avec chaque caract\`ere $\chi_i \in \Ker[H^1(k,\Q/\Z) \to
H^1(K,\Q/\Z)]$, d\'efinit un \'el\'ement $\sA_F \in
\Br(F)=\Br(k(X^c))$  non ramifi\'e sur l'ouvert de $X^c$
image r\'eciproque de $\A^1_k$.
Au-dessus du point \`a l'infini $u=0$, la m\^eme proposition assure
que $s\sA_F$  est non ramifi\'e. Comme par ailleurs
$n \chi_i=0$ pour tout $i$, on voit que
$(n,s)\sA_F$ est non ramifi\'e sur $X^c$.
Au voisinage
du point $u=0$, l'alg\`ebre $\sA$
diff\`ere de
   l'oppos\'e de $(u,\sum_i \chi_i)$ par une alg\`ebre non ramifi\'ee.
Si $\sA_F$ est non ramifi\'ee, la proposition \ref{nec}
implique
$(n/(n,s)).(\sum_i \chi_i)=0$.

Notons le cas particulier: si $s$ et $n$
sont premiers entre eux, alors les \'el\'ements
de $\Br(X^c)$ sont les sommes d'un \'el\'ement de
$\Br(k)$ et d'\'el\'ements $(t-e_i,\chi_i)_F$,
avec $\chi_i \in \Ker[H^1(k,\Q/\Z) \to
H^1(K,\Q/\Z)]$.

Nous avons donc  \'etabli la:
\bpr
Soit $P(t)= \alpha \prod_{i=1}^s (t-e_i)$ s\'eparable et d\'eploy\'e.

  \begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
  \item  Tout \'el\'ement de  $\Br(X^c) \subset \Br(k(X^c))$  s'\'ecrit $\rho_F
+ \sum_{i=1}^s (t-e_i,\chi_i)_F$ avec $\rho \in \Br(k)$ et chaque $\chi_i
\in \Ker[H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)]$, avec $(n/(n,s)).(\sum_i
\chi_i)=0$.

  \item Tout  \'el\'ement de $\Br(k(X^c))$ de la forme
$\rho_F + \sum_{i=1}^s (t-e_i,\chi_i)_F$
avec $\rho \in \Br(k)$ et chaque $\chi_i \in \Ker[H^1(k,\Q/\Z) \to
H^1(K,\Q/\Z)]$
est non ramifi\'e au-dessus de $\A^1_k$ et il est non ramifi\'e
sur tout $X^c$ si  $s$ est premier \`a $n=[K:k]$.
  \end{enumerate}
\epr


\bigskip


Consid\'erons  maintenant le cas o\`u $P(t)$
est de la forme
$P(t)=\alpha t^a (t-1)^b$, avec $(a,b)=1$.
Cette derni\`ere hypoth\`ese assure (corollaire 2.6)
que $\Br(X)$ est vertical
par rapport \`a $X \to \A^1_k$, et donc
que $\Br(X^c)$ est vertical par rapport \`a $X^c \to \P^1_k$.
     Soient $c$ et $d$ tels que
que $ad-bc=1$. D'apr\`es la proposition \ref{nec},
tout \'el\'ement (vertical) de $\Br(X^c)$
provient, \`a addition pr\`es d'un \'el\'ement de $\Br(k)$,
d'un \'el\'ement
de la forme $(t,\chi)+(t-1,\psi) \in \Br(k(t))$,
avec $\chi, \psi$ dans $  \Ker [H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)] $.
Le sous-groupe de $k(t)^*$
engendr\'e par $t$ et $(t-1)$ co\"{\i}ncide avec
le sous-groupe engendr\'e par
$t^a(t-1)^b$ et $t^c(t-1)^d$.  Ainsi tout \'el\'ement
de $\Br(X^c)$
provient, \`a addition pr\`es d'un \'el\'ement de $\Br(k)$,
d'un \'el\'ement
     de la forme $(t^a(t-1)^b,\chi)+(t^c(t-1)^d,\psi) \in \Br(k(t)).$
De l'\'egalit\'e $\alpha t^a(t-1)^b= N_{K/k}(\z)$ dans $F$
et de la formule de projection
on d\'eduit que $(t^a(t-1)^b,\ga)_F$ est dans l'image
de $\Br(k)$ pour tout  $\ga$ dans le groupe $
\Ker [H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)]$.
Ainsi tout \'el\'ement
de $\Br(X^c)$
provient, \`a addition pr\`es d'un \'el\'ement de $\Br(k)$,
d'un \'el\'ement de la forme $\sA=(t^c(t-1)^d,\chi) \in \Br(k(t))$,
avec
$\chi \in  \Ker [H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)]$.

Soit  $\sA \in \Br(k(t))$ un \'el\'ement
arbitraire de cette forme.
Soient $A=(a,n)$, $B=(b,n)$, $C=(a+b,n)$.
On a $(A,B)=1$, $(B,C)=1$, $(A,C)=1$,
ce qui implique que le triplet $(AB,AC,BC)$
n'a pas de diviseur commun.
Posons $N=n/ABC \in \N$.
     Pour tout $\chi \in
\Ker [H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)] $, la proposition
     \ref{suf} assure que
     $a\sA_F$ est non
ramifi\'ee au-dessus de $t=0$, que $b\sA_F$ est non ramifi\'ee
au-dessus de $t=1$, et que $(a+b)\sA_F$ est non ramifi\'ee au-dessus
de $t=\infty$.
La  proposition \ref{nec} montre que si $\sA_F$ est non
ramifi\'ee au-dessus de $t=0$, alors $(n/A).\chi=0$;
que si $\sA_F$ est non
ramifi\'ee au-dessus de $t=1$, alors $(n/B).\chi=0$;
enfin que si $\sA_F$ est non
ramifi\'ee au-dessus de $t=\infty$, alors $(n/C).\chi=0$.
Si donc $\sA_F$ est non ramifi\'ee sur $X^c$,
on a n\'ecessairement $N \chi=0$.

Supposons inversement $N \chi=0$. On voit alors que $(N,a)\sA_F$
est non ramifi\'ee au-dessus de $t=0$, $(N,b)\sA_F$ est non
ramifi\'ee au-dessus de
$t=1$ et $(N,a+b)\sA_F$ est non ramifi\'ee au-dessus
de $t=\infty$.


Nous pouvons \'enoncer la:

\bpr
     Supposons $P(t)=\alpha t^a (t-1)^b$, avec $(a,b)=1$.
Soient $c,d$ avec $ad-bc=1$.
Supposons
que le quotient $N$ de $n$ par le produit
$(a,n).(b,n).(a+b,n)$ est premier \`a $a.b.(a+b)$.
Alors tout \'el\'ement du  groupe de Brauer de $X^c$ est  de la forme
$\rho_F + \sigma_F$, avec $\rho$ dans $ \Br(k)$ et
$\sigma=(t^c(t-1)^d,\chi)$ dans
$ \Br(k(t))$, o\`u $\chi$ est un caract\`ere dans $
\Ker [H^1(k,\Z/N) \to H^1(K,\Z/N)]$.
\epr

  \begin{exs}\rm
  \begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi})}
  \item Soit $a=2$, $b=3$, $n=30$. Alors $N=1$. Dans ce cas,
     $\Br(X^c)/\Br(k)=0$.

  \item Soit  $a=1$, $b=1$, $n$ impair. Alors $N=n$,
et $\Br(X^c)/\Br(k)$ est form\'e des
\'el\'ements $(t,\chi)_F$ avec $\chi \in
\Ker [H^1(k,\Z/n) \to H^1(K,\Z/n)]$.
(Pour un exemple concret, voir [CTSal], p. 541.)

  \item Soit $a=1$, $b=1$, $n=2m$ avec $m$ impair. Alors $N=m$
et $\Br(X^c)/\Br(k)$ est form\'e des
\'el\'ements $(t,\chi)_F$ avec
  \[
  \chi \in\Ker [H^1(k,\Z/m) \to H^1(K,\Z/m)].
  \]
\end{enumerate}
  \end{exs}

On comparera les deux derniers exemples avec la proposition
suivante.

\bpr
Supposons $P(t)=\alpha t(t-1)$.

  \begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
  \item Soit $\chi \in
H^1(k,\Q/\Z)$. Supposons $(t,\chi)_F$ non ramifi\'e
au-dessus du point $t=\infty$.  Alors pour toute
sous-extension $L/k$ de $K/k$ avec $[K:L]=2$, on a $\chi_L = 0 \in
H^1(L,\Q/\Z)$.

  \item Si l'extension $K/k$ est galoisienne de groupe $G$, et tout
caract\`ere de $G$ trivial sur les \'el\'ements d'ordre $2$ de $G$ est
trivial, alors
  \[
  \Br(X^c)/\Br_0(X^c)=0.
  \]

  \item Si l'extension $K/k$ est galoisienne de groupe $G$,
et que le groupe $G$ est engendr\'e par ses \'el\'ements
d'ordre $2$, alors $\Br(X^c)/\Br_0(X^c)=0$.
  \end{enumerate}
\epr

\paragraph{D\'emonstration} La $L$-alg\`ebre $K\otimes_kL$
se d\'ecompose en un produit  $K \times M$, o\`u
$M$ est une $L$-alg\`ebre s\'eparable.
Sur le corps $L$, la vari\'et\'e qui nous int\'eresse est d\'efinie par
l'\'equation
$$ \alpha t (t-1)= N_{K/L}(\z_1).N_{M/L}({\bf w}) .$$
Si l'on pose $t=1/u$, puis $\z_2=u.\z_1$, on obtient
l'\'equation
$$\alpha (1-u) =  N_{K/L}(\z_2).N_{M/L}({\bf w}).$$
Ainsi la fibration $X^c_L \to \P^1_L$
est birationnelle, au-dessus de $\P^1_L$,
\`a une fibration dont la fibre en $u=0$
est g\'eom\'etriquement int\`egre.
L'hypoth\`ese que $(t,\chi)_F$ est non ramifi\'e
au-dessus du point $t=\infty$
     implique alors que le r\'esidu de $(t,\chi)_L=(1/u,\chi)_L$
en $u=0$ est nul, i.e. $\chi_L=0$, et \'etablit le point a).
Ainsi $\chi$ est dans l'intersection des noyaux
des restrictions $H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(L,\Q/\Z)$
pour toutes les sous-extensions $K/L/k$ avec $[K:L]=2$.
Si $K/k$ satisfait l'hypoth\`ese de b), cette intersection
est nulle.

D'apr\`es la proposition 2.10, tout \'el\'ement de
$\Br(X^c) \subset \Br(F)$ s'\'ecrit comme une somme
$\rho_F + (t, \chi)_F + (t-1,\psi)_F$,
avec $\chi$ et $\psi$ dans le noyau de la restriction
$H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)$. L'\'equation
$\alpha t(t-1)=N_{K/k}({\bf z})$ et la formule de
projection montrent qu'un tel \'el\'ement
peut s'\'ecrire sous la forme plus simple
$\rho_F + (t, \chi)_F $ avec
$\chi \in {\rm ker}[H^1(k,\Q/\Z) \to H^1(K,\Q/\Z)]$.
L'\'enonc\'e b) r\'esulte alors de a).

L'\'enonc\'e c) est une cons\'equence imm\'ediate.
   \enddem


Cette proposition s'applique par exemple
lorsque $K/k$ est une extension multiquadratique,
ou lorsque le groupe $G$ est un groupe sym\'etrique.
Elle s'applique aussi lorsque $G$ est un groupe simple
diff\'erent de $\Z/p$ avec $p$ premier impair, mais on n'obtient
alors qu'un cas
particulier du corollaire 2.7.

\bigskip

Il semble  difficile de d\'ecrire des \'el\'ements
non verticaux de $\Br(X^c)$.
Nous devons pour l'instant nous contenter de:

\begin{qus}\rm Soit $K/k$ une extension biquadratique, i.e. galoisienne de
groupe de Galois $G=\Z/2 \times \Z/2$. Soit
$T=R^1_{K/k}\G_m$. De la suite exacte de $G$-modules
$$0 \to \Z \to \Z[G] \to \hat{T} \to 0,$$
on d\'eduit  $H^2(H,\hat{T}) \simeq H^3(H,\Z)$ pour tout sous-groupe
$H \subset G$,  donc
  \[
  \Sh(\That)=\Z/2.
  \]

  \begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
  \item  Soit  $P(t)=\alpha \prod_{i=1}^m(t-e_i)^2$,
avec $e_i \in k$. On a alors $\Sh(\That)_P=\Z/2$.
Sous l'hypoth\`ese $H^3(k,\kbar^*)=0$, satisfaite
si $k$ est un corps de nombres, il existe
des \'el\'ements de $\Br(X)$ qui sont non verticaux
par rapport \`a $X \to \A^1_k$. Ces \'el\'ements
semblent difficiles \`a expliciter.
Existe-t-il dans $\Br(X^c)$ des
\'el\'ements non verticaux par rapport \`a la fl\`eche $X^c \to \P^1_k$?

  \item Supposons maintenant que tout facteur irr\'eductible $R(t)$ du
polyn\^ome $P(t)$ d\'efinisse une extension $k[t]/R(t)$
contenant l'une des trois sous-extensions quadratiques de $K/k$.
On a $\Sh(\That)=\Z/2$. Par contre
pour tout corps $L$ et tout $L$-tore $M$ d\'eploy\'e par une extension
quadratique de $L$, on a  $\Sh(\widehat M)=0$.
     En particulier,
avec les hypoth\`eses ci-dessus sur $P$, on a
$\Sh(\That \otimes \Z_P)=0$ car $\Z_P=\bigoplus_{i}\Z[L_i/k]$.
   On a donc
$\Sh(\That)_P=\Z/2$. Il existe donc (Prop. 2.5) un
\'el\'ement de $H^1(k,\Pic(\Xbar))$ d'image
non nulle dans $\Sh(\That)_P$. Sous l'hypoth\`ese
$H^3(k,\kbar^*)=0$, un tel \'el\'ement se rel\`eve
en un \'el\'ement (difficile \`a expliciter) de $\Br(X)$ qui est non
vertical par rapport \`a $X \to \A^1_k$.
Existe-t-il un tel \'el\'ement qui provienne de $\Br(X^c)$?
Il est facile de donner un exemple lorsque la $k$-vari\'et\'e $X$
est
$k$-birationnelle au produit d'un espace principal
homog\`ene sous $T$ et d'une droite, mais on aimerait
avoir un exemple moins trivial. Il conviendrait par exemple d'\'etudier
      l'\'equation
$\alpha.(t^2-a)=N_{K/k}({\bf z})$, avec  $K=k(\sqrt{a},\sqrt{b})$.
Peut-on donner un exemple d'obstruction de Brauer-Manin non verticale
(pour $X^c \to \P^1_k$)?
  \end{enumerate}
  \end{qus}

\section{Descente}
Soient $k$ un corps des nombres et  $\AA_k$ l'anneau des ad\`eles de
$k$. Soit $X$ une $k$-vari\'et\'e et $X(\AA_k)$ l'espace topologique
des ad\`eles de $X$.
Par somme des invariants locaux, on d\'efinit un accouplement
continu \`a gauche
$$X(\AA_k) \times \Br(X) \to \Q/\Z.$$
C'est l'accouplement de Manin.
Pour tout sous-ensemble $B \subset \Br(X)$ on note
$X(\AA_k)^B\subset X(\AA_k)$ le ferm\'e de
$X(\AA_k)$ form\'e des ad\`eles orthogonales
\`a $B$ par rapport \`a l'accouplement ci-dessus.
Pour $B=\Br(X)$, on \'ecrit simplement $X(\AA_k)^{\Br(X)}=X(\AA_k)^{\Br}$.
Comme l'observa Manin,
la loi de r\'eciprocit\'e de la th\'eorie du corps de classes assure que
l'inclusion diagonale $X(k) \subset X(\AA_k)$ se factorise par
$X(k) \subset X(\AA_k)^{\Br}\subset  X(\AA_k)^B $.
L'adh\'erence de $X(k)$ dans $X(\AA_k)$ est donc  contenue
dans le ferm\'e $X(\AA_k)^{\Br}$ de $X(\AA_k)$.
      On dit que
l'obstruction de Brauer--Manin
(resp. l'obstruction de Brauer--Manin attach\'ee \`a $B \subset
\Br(X)$) est la seule
obstruction au principe de Hasse et \`a l'approximation faible sur $X$ si
$X(k)$ est dense dans $X(\AA_k)^{\Br}$ (resp.
si $X(k)$ est dense dans $X(\AA_k)^B$).

Le principal r\'esultat arithm\'etique de cet article est le suivant.

\bthe
      Soient $k$ le corps $\Q$ des rationnels et $K/k$ une extension finie de
corps.
Soient
$\alpha
\in k^*$ et $a,b \in \Z$.
L'obstruction de Brauer--Manin est la seule obstruction
au principe de Hasse et \`a l'approximation faible pour tout mod\`ele
propre et lisse de la vari\'et\'e donn\'ee par l'\'equation
\begin{equation}
\alpha t^a(t-1)^b=N_{K/k}(\z),      \label{equ}
\end{equation}
o\`u $t$ est une variable dans $k$ et $\z$ une variable dans $K$.

\ethe

\paragraph{D\'emonstration}
      Si $a$ ou $b$ est nul, l'\'equation (\ref{equ}) d\'efinit une
$k$-vari\'et\'e\break  $k$-birationnelle \`a
un espace principal homog\`ene sous un tore. Dans ce cas le r\'esultat est
bien connu ([Sa], Cor. 8.13). Soit $n$ le degr\'e de $K$ sur $k$. Un
changement de variable birationnel permet de remplacer le couple $(a,b)$
par tout couple d'entiers
$(a',b')$ avec $a'$ congru \`a $a$ modulo $n$ et $b'$ congru \`a
$b$ modulo $n$.
On suppose d\'esormais  $a>0$ et $b>0$,
et l'on reprend les notations et d\'efinitions
du d\'ebut du \S 2: ouverts $U \subset V$ de la vari\'et\'e d\'efinie par
(4), tore $T=R^1_{K/k}\G_m$, compactification lisse \'equivariante
$T^c$, compactification lisse partielle $X$ de $V$, compactification lisse
$X^c$ de $X$.
Il suffit de d\'emontrer notre \'enonc\'e
pour un mod\`ele donn\'e, par exemple, pour $X^c$.
Soit $\{M_v\} \in X^c(\AA_k)^{\Br}$. Soit $\Si$ un ensemble fini de
places de $k$. On cherche \`a montrer l'existence d'un
point rationnel $M \in X^c(k)$, qui soit de plus arbitrairement proche de
chaque
$M_v$ pour $v \in \Si$.

Comme on a $\kbar[X]^*=\kbar ^*$, que le groupe ab\'elien $\Pic(\Xbar)$ est
libre de type fini et que $\Br(\Xbar)=0$, et donc en particulier est fini
(proposition
\ref{1}), le corollaire 1.2 de [CTSk]
montre que l'ensemble
$X(\AA_k)^{\Br}$ est dense dans
$X^c(\AA_k)^{\Br}$. On peut donc supposer
$\{M_v\} \in X(\AA_k)^{\Br}$.

Comme $\Br(\Xbar)$ est fini et $\Pic(\Xbar)$ est
libre de type fini (donc $H^1(k,\Pic(\Xbar))$ est fini),
le quotient $\Br(X)/\Br_0(X)$ est fini, donc
quotient d'un sous-groupe fini $B$ de $\Br(X)$.
Soit $U$ l'ouvert de $X$ d'\'equation $P(t)=N_{K/k}(\z) \ne0$.

On peut trouver un  ensemble fini de places $\Si' \supset \Si$
(contenant les places archim\'e\-diennes de
$k$) tel que  $X$ (resp. $U$) s'\'etende en un $\Oh_{\Si'}$-sch\'ema
lisse ${\cal X}$ (resp. ${\cal U}$),
et les \'el\'ements de $B$ appartiennent \`a $\Br ({\cal X})$, o\`u
$\Oh_{\Si'} \subset k$ est l'anneau des entiers en dehors de $\Si'$.
Quitte \`a agrandir $\Si'$,
on peut supposer que, pour $v \not \in \Si'$,
$M_v \in {\cal X}(\Oh_v)$  et ${\cal U}(\Oh_v) \ne\emptyset$
(la derni\`ere propri\'et\'e r\'esulte du th\'eor\`eme de Lang-Weil et
du lemme de Hensel).


Par
continuit\'e de l'accouplement $X(k_v) \times \Br(X) \to \Q/\Z$,
on peut, pour $v \in \Si'$, trouver un point $M'_v$ de $U(k_v)$
qui est proche de $M_v$ et tel que l'on ait $\alpha(M_v)=\alpha(M'_v)$
pour tout $\alpha \in B$. Choisissons $M'_v$ arbitraire dans
${\cal U}(\Oh_v)$ pour $v \not \in \Si'$, alors
$\alpha(M'_v)=\alpha(M_v)=0$ pour toute place $v \not \in \Si'$ et tout
$\alpha \in B$,
donc $\{ M'_v \} \in X(\AA_k)^{\Br}$. Finalement on voit que l'on peut
supposer $M_v$ dans $U(k_v)$ pour toute place $v$ de $k$, quitte
\`a remplacer $M_v$ par $M'_v$.



Le th\'eor\`eme principal de la th\'eorie de la descente
([CTSa3] ; [CTSk] Prop. 1.3 ;   [Sk] Thm. 6.1.2)
montre qu'il existe
un torseur universel $\T_0$ sur $X$,
i.e. un torseur de type $\id\colon\Pic(\Xbar) \to \Pic(\Xbar)$
et une ad\`ele $\{N_v\} \in \T_0(\AA_k)$
qui se projette sur $\{M_v\}$ par la fl\`eche structurale
$\T_0 \to X$.



Pour le torseur universel
$\T_0$, on  a $\kbar^*=\kbar[\T_0]^*$
et $\Pic(\ov\T_0)=0$ ([CTSa3], Prop. 2.1.1),
      a fortiori $H^1(k,\Pic(\ov\T_0))=0$.
On a donc
$\Br_0(\T_0)=\Br_1(\T_0)$.
(En utilisant [HaSk], on peut montrer le r\'esultat
plus pr\'ecis $\Br_0(\T_0)=\Br(\T_0)$, mais on n'a pas
besoin de cet \'enonc\'e pour la d\'emonstration qui suit.)

Avec les notations du diagramme principal du \S 2,
on a ici $\Z_P=\Z^2$ et donc $\widehat{T}\otimes \Z_P= \widehat{T}^2$.
      Le
$\Ga_k$-homomorphisme
$\widehat{T}^2 \to \Pic(\Xbar)=\widehat{T}_0$ se dualise en un
homomorphisme de $k$-tores $T_0 \to T^2$. Soit $\T_1=\T_0\times^{T_0}T^2$
le torseur sur
$X$ sous $T^2$ obtenu par changement de groupe.

Soit $\{P_v\} \in \T_1(\AA_k)$ l'image
de  $\{N_v\} \in \T_0(\AA_k)$  via la projection
naturelle $\T_0 \to \T_1$.
Par fonctorialit\'e de l'accouplement de Manin, cette projection envoie
$\T_0(\AA_k)=\T_0(\AA_k)^{\Br_1}$ (cette derni\`ere \'egalit\'e
provenant de $\Br_0(\T_0)= \Br_1(\T_0)$) dans
$\T_1(\AA_k)^{\Br_1}$.

En r\'esum\'e: l'ad\`ele $\{P_v\} \in \T_1(\AA_k)$
est orthogonale \`a ${\Br_1}(\T_1)$,
pour chaque $v$, on a $P_v \in \T_{1,U}(k_v)$, et
$P_v$ a pour image $M_v$ par la projection
$\T_{1,U} \to U$.

La description locale des torseurs ([CTSa3], Thm. 2.3.1 p. 421;
[Sk], Thm. 4.3.1), les deux lignes sup\'erieures
du diagramme (2) (avec $\hat{T}\otimes\Z_P=\hat{T}^2$)
jouant le r\^ole du
diagramme (2.3.2) de [CTSa3] (resp. du diagramme (4.21) de [Sk])
(noter que $\Pic(\Ubar)=0$),
montre
que la
restriction $\T_{1,U}$ de $\T_1$ au-dessus de l'ouvert $U\subset X$
est donn\'ee par un syst\`eme d'\'equations:
$$0 \ne\alpha t^a(t-1)^b=N_{K/k}(\z), \quad
0 \ne t=\beta_1N_{K/k}(\x), \quad 0 \ne
t-1=\beta_2N_{K/k}(\y),$$
avec $\beta_1, \beta_2\in k^*$
convenables et $\x, \y$
variables dans $K$.
Un changement de variables
\'evident montre que $\T_{1,U}$ est $k$-isomorphe
au produit de la sous-vari\'et\'e lisse $Y\subset\A^{2n}_k$
donn\'ee par l'\'equation
$$\beta_1N_{K/k}(\x)-\beta_2N_{K/k}(\y)=1, \quad N_{K/k}(\x)\ne0,
\quad N_{K/k}(\y)
\ne0$$ avec $\x,\y$ variables dans $K$,
et de l'espace principal homog\`ene $E$ du tore $T$ donn\'e par
l'\'equation
$$\alpha\beta_1^a\beta_2^b=N_{K/k}(\z'),$$
avec $\z'$ variable dans $K$.



Soit $E^c$, resp. $Y^c$, une $k$-compactification lisse
de $E$, resp. $Y$. On peut prendre $E^c=E\times^TT^c$.



Le $k$-morphisme $q\colon\T_{1,U} \to E$ induit une application
$k$-rationnelle de la $k$-vari\'et\'e lisse $\T_1$
vers la $k$-vari\'et\'e projective $E^c$. Une telle
application est automatiquement d\'efinie sur un ouvert $W \subset \T_1$
contenant tous les points de codimension $1$ de $\T_1$.
Soit ${\bf a} \in \Br(E^c)$. L'\'el\'ement $q^*({\bf a})
\in \Br(\T_{1,U})$ appartient donc \`a $\Br(W) \subset
\Br(\T_{1,U})$. Comme $\T_1$ est lisse sur
un corps de caract\'eristique z\'ero, et
que $W$ contient tous les  points de codimension $1$ de $\T_1$,
le th\'eor\`eme de puret\'e pour le groupe de Brauer
([Gr],  Thm. 6.1 (c) et Cor. 6.2)
assure que l'inclusion
$\Br(\T_1) \subset \Br(W)$ est une \'egalit\'e.
Il existe donc ${\bf b} \in \Br(\T_1)$ tel que ${\bf b}_U=q^*({\bf a})
\in \Br(\T_{1,U})$. Comme $\Br(E^c)=\Br_1(E^c)$
(cette  \'egalit\'e provenant du fait
que $T$, et donc $E$ est une vari\'et\'e g\'eom\'etriquement
rationnelle), on
a $q^*({\bf a}) \in \Br_1(\T_{1,U})$, et donc ${\bf b} \in \Br_1(\T_1)$.

Comme l'ad\`ele $\{P_v\}$ est orthogonale \`a $\Br_1(\T_1)$, on voit
alors que l'ad\`ele $\{q(P_v)\} \in E^c(\A_k)$
est orthogonale \`a $\Br_1(E^c)=\Br(E^c)$.
On sait ([Sa], Cor. 8.13)
que l'obstruction de Brauer-Manin au principe
de Hasse et \`a l'approximation faible est la seule
pour $E^c$,
compactification lisse d'un espace principal
homog\`ene sous un $k$-tore.
On a donc $E^c(k) \ne\emptyset$,
et il existe $M_1 \in E(k)$ arbitrairement proche
de $q(P_v)$ pour chaque $v \in \Si$.


Par ailleurs, sous l'hypoth\`ese
que le corps de nombres $k$ est le corps $\Q$ des rationnels,
on sait ([HBSk]) que le principe de Hasse et l'approximation
faible valent pour $Y^c$. On peut donc trouver un point $M_2 \in Y(k)$
     arbitrairement proche des ima\-ges de $P_v \in \T_{1,U}(k_v) \simeq
Y(k_v) \times E(k_v)$ par la premi\`ere projection, ceci pour chaque $v
\in \Si$. L'application compos\'ee $ Y(k)\times E(k) \simeq
\T_{1,U}(k) \to U(k)$ envoie alors le point $(M_2,M_1)$
sur un $k$-point $M$ de $U$ proche de chaque $M_v$ pour $v \in \Si$.
\enddem


\bco
Soit $k$ le corps $\Q$ des rationnels. Soient $\alpha \in k^*$
et $a,b \in \N$. Soit $V$
la $k$-vari\'et\'e d\'efinie par
$$\alpha t^a(t-1)^b=N_{K/k}(\z)\ne0,$$
avec $t$ variable dans $k$ et $\z$ variable dans $K$,
et soit $p\colon V \to \A^1_k$ le morphisme d\'efini par $t$.
Soit $X^c$ une $k$-compactification lisse de $V$
\'equip\'ee d'un $k$-morphisme $p\colon X^c \to \P^1_k$
\'etendant $p$. Soit
  \[
  \Br\svert(X^c)= \Br(X^c) \cap p^*(\Br(k(\P^1))) \subset \Br(k(X)).
  \]

  \begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
  \item Si $K/k$ est cyclique, ou si $a$ et $b$ sont premiers
entre eux, l'obstruction de Brauer-Manin verticale est la seule pour
$X^c$, autrement dit: $X^c(k)$ est dense dans
$X^c(\AA_k)^{\Br\svert(X^c)}$.


  \item Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, et si
$K/k$ ne contient pas de sous-extension cyclique,
alors le principe de Hasse et l'approximation faible
valent pour $X^c$.
  \end{enumerate}
\eco

Il suffit de combiner le th\'eor\`eme 3.1 avec les corollaires 2.6 et 2.7.
Le corollaire 2.6 donne d'ailleurs d'autres exemples
o\`u l'\'enonc\'e a) vaut.


\begin{qse} \rm
Comme on l'a mentionn\'e au paragraphe 2, pour $a,b$ et $K/k$
arbitraires, on ne sait pas calculer explicitement le
sous-groupe $\Br(X^c) \subset \Br(X)$. Le th\'eor\`eme 3.1 n'est donc
pas effectif.


Sous l'hypoth\`ese que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
(hypoth\`ese de [HBSk]),
le th\'eor\`eme est effectif dans certains cas. Il en est ainsi
lorsqu'on peut assurer $\Br(X^c)/\Br(k)=0$, comme c'est le
cas sous l'hypoth\`ese du corollaire 3.2 b). La proposition 2.11
fournit d'autres cas o\`u le calcul de $\Br(X^c)$ est possible.
Les exemples suivant
cette proposition
donnent, par application
du th\'eor\`eme~3.1:
\end{qse}

\bco
Soit $K$ un corps extension finie de $k=\Q$ de degr\'e $30$, et soit
$\alpha \in k^*$. Le principe de
Hasse et l'approximation faible valent pour tout mod\`ele
projectif et lisse de la vari\'et\'e donn\'ee par
$$ \alpha t^2 (t-1)^3= N_{K/k}(\z).$$
\eco

Cet exemple est int\'eressant, car c'est en quelque sorte
le premier cas de couple $(a,b)$  pour lequel l'existence
d'un point $k$-rationnel sur un mod\`ele projectif et lisse
de la vari\'et\'e d\'efinie par $\alpha t^a (t-1)^b=N_{K/k}(\z)$
n'est pas automatique.


Pour $P(t)$ de la forme $\alpha t(t-1)$, il existe un point
$k$-rationnel sur tout mod\`ele projectif et lisse de $U$
([HBSk], \S2, Rem.~1).
La seule question \`a consid\'erer est donc celle  de l'approximation
faible.

\bco
Soit $K$ un corps extension finie de $k=\Q$, de degr\'e $m$ ou $2m$, avec
$m$  impair.  Soit $\alpha \in k^*$. Soit $U$ la $k$-vari\'et\'e d\'efinie
par les \'equations \[\alpha t(t-1)= N_{K/k}(\z) \ne0.\]
Soit $X$ le groupe fini $\Ker [H^1(k,\Z/m) \to H^1(K,\Z/m)]$.
Pour $\chi \in X$, soit $\sA_{\chi} = (t,\chi) \in \Br(k(t))$.

  \begin{enumerate}
  \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
  \item Il existe un ensemble fini
$S_0$ de places de $k$ tel que pour $v \notin S_0$,
tout $\sA_{\chi} $ s'annule sur
$U(k_v)$.

  \item Pour tout ensemble fini $S$ de places  de $k$,
un point $\{P_v\} \in \prod_{v \in S}U(k_v)$ est
dans l'adh\'erence de $U(k)$ si et seulement si
on peut trouver des points $P_v \in U(k_v)$ pour
$v \in S_0 \setminus S$ tels que
pour tout $\chi \in X$, on ait  $$\sum_{v \in S_0} \sA_{\chi}(P_v)=
\sum_{v
\in S_0}(t_v,\chi)_v=0,$$ o\`u $t_v=t(P_v)$ et $(t_v,\chi) \in \Br(k_v)
\subset \Q/\Z$.
  \end{enumerate}
\eco

Le cas particulier $m=3$ du corollaire ci-dessus
avait \'et\'e \'etabli dans [CTSal], Thm.~6.2.
M\^eme dans ce cas, l'approximation faible ne vaut pas toujours,
comme le montre un exemple de D. Coray ([CTSal] p.~541).

\medskip

Le th\'eor\`eme 3.1, la proposition 2.12 et l'existence automatique
d'un point rationnel sur un mod\`ele projectif lisse
([HBSk], \S 2, Rem.~1) impliquent enfin le:

\bco
Soit $K$ un corps extension galoisienne finie de $k=\Q$, de groupe $G$,
et soit
$\alpha \in k^*$. Si tout caract\`ere de $G$ trivial sur les \'el\'ements
d'ordre $2$ de $G$ est trivial, alors l'approximation faible vaut pour
tout mod\`ele projectif et lisse de la vari\'et\'e donn\'ee par
$$ \alpha t (t-1)= N_{K/k}(\z).$$
\eco

L'hypoth\`ese sur $G$ est satisfaite dans les cas suivants:
le groupe $G$ est simple non cyclique; le groupe $G$
est engendr\'e par ses \'el\'ements d'ordre 2, ce qui
est le cas si $G$ est un groupe sym\'etrique, et aussi
si $G$ est un produit de groupes d'ordre 2.

\paragraph{Remerciements} Cet article est issu de discussions lors de la
conf\'erence {\it Higher dimensional varieties and
rational points} (Institut Alfr\'ed R\'enyi, Buda\-pest,
septembre 2001). Nous en remercions les organisateurs.
Nous remercions aussi le rapporteur pour sa lecture
attentive du tapuscrit.

\renewcommand{\refname}{Bibliographie}
\begin{thebibliography}{CTHa}

\bibitem[CF]{CF} J. W. S. Cassels and A. Fr\"ohlich (ed.), {\em Algebraic
number theory}, Academic Press, London and New York, 1967

\bibitem[CTPest]{CTPest} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene,  Points rationnels
sur les fibrations, in {\em Higher dimensional varieties and rational
points} (K. J. B\"or\"oczky, J. Koll\'ar, T. Szamuely, ed.),
Bolyai Society Math. Studies {\bf 12}, Springer, 2003

\bibitem[CTHaSk]{CTHaSk} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene, D. Harari et A. N.
Skorobogatov, {\em Compacti\-fication \'equivariante d'un tore
(d'apr\`es Brylinski et K\"unnemann)}, pr\'epublication

\bibitem[CTSal]{CTSal} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene et P. Salberger,
{\em Arithmetic on some singular cubic surfaces}, Proc. London Math. Soc.
(3) {\bf58} (1989) 519--549

\bibitem[CTSa1]{CTSa1} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene et J.-J. Sansuc, {\em La
$R$-\'equivalence sur les tores}, Ann. Sci. \'Ecole Norm. Sup. {\bf10}
(1977) 175--230

\bibitem[CTSa2]{CTSa2} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene et J.-J. Sansuc,
{\em Principal homogeneous spaces under flasque tori: applications}, J.
Algebra {\bf 106} (1987) 148--205

\bibitem[CTSa3]{CTSa3} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene et J.-J. Sansuc,  {\em La
descente sur les vari\'et\'es rationnelles}. II, Duke Math. J. {\bf54}
(1987) 375--492

\bibitem[CTSk]{CTSk} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene and A. N. Skorobogatov,
{\em Descent on  fibrations over $\P^1_k$ revisited}, Math. Proc. Camb.
Phil. Soc. {\bf128} (2000) 383--393

\bibitem[CTSD]{CTSD} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene et Sir Peter
Swinnerton-Dyer, {\em Hasse principle and weak approximation for pencils
of Severi-Brauer and similar varieties}, J. reine angew. Math. {\bf453}
(1994) 49--112

\bibitem[Gr]{Gr} A. Grothendieck, Le groupe de Brauer III: exemples et
compl\'ements, in {\it Dix expos\'es sur la cohomologie des sch\'emas},
Adv.\ Stud.\ Pure Math., {\bf 3}, Masson et North-Holland,  1968,
pp.~88--188

\bibitem[HaSk]{HaSk} D. Harari and A. N. Skorobogatov, {\em The Brauer
group of torsors and its arithmetic applications},  Max Planck Institut
Preprint {\bf 33} (2002)

\bibitem[HBSk]{HBSk} R. Heath-Brown and A. N. Skorobogatov, {\em Rational
solutions of certain equations involving norms}, Acta Math.
{\bf 189} (2002),  161--177


\bibitem[Sa]{Sa} J.-J. Sansuc, {\em Groupe de Brauer et
arithm\'etique des groupes al\-g\'ebriques lin\'eaires sur un corps de
nombres}, J. reine angew. Math. {\bf327} (1981) 12--80

\bibitem[Sk]{Sk} A.N. Skorobogatov, {\it Torsors and rational points},
Cambridge Tracts in Mathematics {\bf144}, Cambridge University Press,
2001

\bibitem[Vosk]{Vosk} V. E. Voskresenski\v{\i}, {\it Algebraic groups and
their birational invariants},  translated from the Russian manuscript by
Boris Kunyavski\v{\i}, Translations of Mathema\-tical Monographs, {\bf
179}, AMS, Providence, RI, 1998

\end{thebibliography}

\bigskip
\noindent
Jean-Louis Colliot-Th\'el\`ene, \\
C.N.R.S., U.M.R. 8628, \\
Math\'ematiques, B\^atiment 425, \\
Universit\'e de Paris-Sud, \\
F-91405 Orsay, France \\
e-mail: colliot@math.u-psud.fr \\
web: www.math.u-psud.fr/$\!\sim$colliot

\medskip
\noindent
David Harari, \\
D.M.A., E.N.S., \\
45 rue d'Ulm, \\
F-75005 Paris, France \\
e-mail: harari@dma.ens.fr \\
web: www.dma.ens.fr/~harari

\medskip
\noindent
Alexei N. Skorobogatov, \\
Department of Mathematics, \\
Imperial College, \\
180 Queen's Gate, \\
London SW7 2BZ, United Kingdom \\
e-mail: a.skorobogatov@ic.ac.uk \\
web: www.ma.ic.ac.uk/$\!\sim$anskor

\end{document}
